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viernes, 30 de marzo de 2012

¿QUÉ ES EMULACIÓN?

¿QUÉ ES EMULACIÓN?
tomado de EL MODO EMULACION EXPLICADO Un Manual práctico para la guía de la Oficialidad, desde el Maestro hasta el Guarda Templo Externo, en Logias de la Obediencia bajo la jurisdicción de la Gran Logia Unida de Inglaterra.Por HERBERT F. INMAN, L.R. 

Para el experimentado entusiasta de Emulación que pasa, posiblemente, dos o tres noches a la semana en una Logia de Instrucción reconocida, y que raramente falta a una reunión de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento en Freemasons Hall, la pregunta del encabezado de este capítulo puede aparecer, indudablemente, como superflua. Esos ritualistas celosos y laboriosos, sin embargo, deben recordar que hay muchos Hermanos que no han ingresado jamás a la Logia de Perfeccionamiento. Hermanos que, a pesar de declarar ser trabajadores en Emulación, no poseen mas conocimiento íntimo de Emulación que el que se deriva del estudio del Ritual impreso bajo la supervisión de un Instructor que, en muchos casos, puede estar tan desinformado sobre el tema como los alumnos que lo buscan para ser guiados.

Para mayor información de esos Hermanos se hará un intento de responder la pregunta que encabeza este capítulo. La respuesta debe ser necesariamente breve, siendo que el principal objetivo de este Manual es el de proveer guías prácticas para aquellos Hermanos que buscan perfeccionarse en los Ceremoniales de Emulación, y no el de ofrecer nada parecido a una investigación crítica de la historia de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento.

No es falso decir que el joven estudiante Masónico, ávido de conocimiento, frecuentemente se confunde por la multiplicidad de rituales Masónicos a los que tiene acceso. Oye acerca de “Logic”, “West End”, “Oxford”, “Bristol”, “Universal”, “North London” y muchos así llamados “”modos” o “estilos” Masónicos. Es natural que se pregunte que significan todos ellos, porqué existen tantos, y cual fue su origen. Posiblemente, también, siendo aún desconocedor de la historia del Ritual Masónico, mentalmente asocia a Emulación con los demás, considerándolo nada más que un nombre pintoresco creado por un Hermano imaginativo en búsqueda de novedades.

Muy resumidamente, debe explicarse que “Emulación”, la palabra en sí misma, es una forma abreviada para describir a la Logia de Emulación y Perfeccionamiento para Maestros Masones, que se reúne en Freemasons Hall, Great Queen Street, Londres, W.C.2, los Viernes por la noche a las seis en punto, y que es también la palabra utilizada para describir el particular sistema de ritual que allí se enseña.

La Logia de Perfeccionamiento fue fundada e 1823, siendo su objetivo enseñar la forma precisa de ritual acordada por la Logia de Reconciliación, como fuera aprobada, sancionada y confirmada por la Gran Logia Unida de Inglaterra el 5 de Junio de 1816, cuya sanción fuera debidamente registrada en las Actas de la Gran Logia de esa fecha.
El principio básico de Emulación es que nadie tiene el derecho de alterar el Ritual en palabra o hecho en tanto, si ello llegara a ocurrir, la Gran Logia no sancione oficialmente dicha alteración. El hecho repetidamente reclamado por muchos eminentes adherentes  de la famosa Logia de Perfeccionamiento es que Emulación enseña hoy en día, y siempre ha enseñado, ese Ritual Autorizado en particular, sin variación alguna.

¿Hasta donde puede sostenerse un reclamo de esa naturaleza hoy en día? Cualquier respuesta a esa pregunta requiere hacer referencia a las condiciones existentes en la Orden Masónica Inglesa durante la primera parte del siglo diecinueve, pero dicha referencia debe ser necesariamente breve cuando el tema ha de ser abordado en el ámbito de un solo capítulo. Bastará con decir que antes del año 1813 existían dos Grandes Logias. Una, establecida en 1717, posteriormente conocida como los Modernos, y la otra fundada en 1754, referida generalmente como los Antiguos. Por más de sesenta años existió una agria rivalidad entre los dos cuerpos, pero en 1813 se consumó satisfactoriamente la Unión. De ahí el nombre actual de la Gran Logia Unida de Inglaterra. Estos hechos son, por supuesto, conocidos por todo estudiante experimentado, pero aquí estamos escribiendo para el novato.

Es perfectamente comprensible que la prolongada rivalidad no concluyera sin bastantes dificultades. Se requerían nuevas regulaciones para el Gobierno de la Orden y el consenso de la nueva forma de Ritual a ser utilizada bajo la recién formada Gran Logia fue, naturalmente, una de las cuestiones controversiales que diera lugar a muchas discusiones y diferencias de opinión.

Los Artículos de la Unión, ratificados, confirmados y sellados el 1ro. De Diciembre de 1813, que a partir de ese momento debería existir perfecta unidad en el trabajo. Para alcanzar el propósito de dicha unidad de trabajo, los Artículos establecían la constitución de una Logia a ser llamada Logia de Reconciliación, a ser compuesta por un número igualitario de Masones expertos por cada una de las antiguas Constituciones. En el Artículo V encontramos que los Hermanos componentes de la Logia de Reconciliación tenían la potestad de definir la forma de Ritual a ser observada con carácter permanente.



Que los Hermanos de la Logia de Reconciliación no escatimaron esfuerzos para alcanzar conclusiones satisfactorias y unánimes está probado por el hecho de que recién el 20 de Mayo de 1816 se demostraron las Ceremonias acordadas ante una reunión especial de la Gran Logia presidida por el M.R. Gran Maestro, Duque de Essex. En la siguiente reunión de la Gran Logia, realizada el 5 de Junio de 1816, las Ceremonias recomendadas fueron aprobadas y confirmadas.

Es evidente, por lo tanto, que en el año 1816 se aprobó y se aceptó por la Gran Logia Unida un método específico de abrir y cerrar la Logia en los Tres Grados y de Iniciar, Aumentar y Exaltar Masones, en bien del conjunto de la Fraternidad Inglesa. La Ceremonia de Instalación fue considerada en fecha posterior y en 1827 el Gran Maestro, mediante un  Consejo de Maestros Instalados. Sostuvo cuatro reuniones y decidió la única forma de Ceremonia de Instalación que ha recibido jamás el sello de autoridad.

La Logia de Reconciliación, habiendo cumplido el propósito específico para el cual fue constituida, dejó de existir en 1816, y la propagación del recientemente establecido Ritual  de Reconciliación recayó sobre las Logias de Instrucción, que nacieron en ese periodo. De esas Logias una de las más importantes fue la Logia Unida de Perseverancia, fundada el 26 de Enero de 1818, un poco más de un año después de la disolución de la Logia de Reconciliación. Esta Logia contaba entre sus miembros varios de los Masones más instruidos de la época, de los cuales nueve se convirtieron en Fundadores de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento en 1823. Otros se unieron subsecuentemente a la Logia de Perfeccionamiento. En una de sus reuniones, los Hermanos de la Logia Unida de Perseverancia emitieron la siguiente resolución:

“Que las Antiguas Liturgias y Ceremonias de Iniciación, Aumento y Exaltación, así como fueran confirmadas por la Gran Logia de Inglaterra, sean cumplidas estrictamente en esta Logia”.

La Logia de Reconciliación, como ya se dijo, se disolvió en 1816, y la Logia de Emulación y Perfeccionamiento no fue fundada hasta 1823. Pero esta brecha de siete años se reduce considerablemente cuando se descubre a partir de evidencias confiables que la Logia de Emulación y Perfeccionamiento  surgió obviamente a partir de la antigua Logia de Perseverancia. La mayoría de los Hermanos de la Logia original se convirtieron en decididos adherentes de Emulación, y es razonable asumir que los veteranos y resueltos Masones que sancionaron la resolución mencionada con anterioridad no habrían de permitir la más mínima innovación en los trabajos y Ceremonias de Reconciliación mientras tuvieran vida.

Ningún repaso de la historia de Emulación, así sea resumida, puede considerarse completa sin hacer referencia al celebrado Peter William Gilkes, un famoso Instructor Masónico cuyo nombre está inseparablemente unido a las actividades iniciales de Emulación. Al escribir acerca de Meter Gilkes, el difunto H:. Henry Sadler, Gran Bibliotecario y notorio historiador y autor Masónico, decía:

“Realmente nos preguntamos si algún individuo, ya sea antes o después de su tiempo, ha alcanzado tal nivel de distinción como Instructor Masónico”.
El 6 de Agosto de 1818, el R:.H:. Edwards Harper, Gran Secretario, escribió al V:.M:. de la Logia 498 de Shrewsbury:

“Al contactaros con Peter Gilkes os mencioné que él habría de instruiros en el método correcto adoptado desde la Unión”.

El 6 de Septiembre de 1843, el R:.H:. W.H. White, Gran Secretario, escribió al V:.M:. de la Logia 523:

“El H:. GIlkes fue maestro completo de todas las Ceremonias, y creo que las cumplía fielmente”.

El H:. Peter Gilkes nació en 1765 y murió en 1833. Fue iniciado en 1786 en la British Lodge, ahora No. 8, la Logia que patrocinó a la Logia Unida de Perseverancia, de la cual Gilkes fue un miembro preeminente. Peter Gilkes estuvo presente en la primera reunión de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento, convirtiéndose en miembro poco tiempo después y fue Líder del Comité en 1825.

Vale la pena hacer notar que Gilkes participó de las reuniones de la Logia de Promulgación, una Logia constituida en 1809 por la Gran Logia de los Modernos, siendo su objetivo “El Establecimiento y Promulgación de los Antiguos Linderos de la Orden”. Puesto en palabras simples, esto simplemente significa que los miembros de la Logia de Promulgación se reunieron para decidir en cuáles de sus propias costumbres y prácticas debían insistir cuando la deseada Unión se alcanzara, y hasta donde estaban dispuestos a ceder ante los Antiguos.

Un estudio cuidadoso de antiguos Registros y Actas lleva a la conclusión de que la mayoría de los cambios efectivamente realizados fueron decididos en la Logia de Promulgación entre 1809 y 1811, pocos años antes de que sea constituida la Logia de Reconciliación. El eminente y respetado historiador Masónico, el difunto H:. W.B.Hextall, escribió:

La Logia de Reconciliación adopto muchas de las decisiones que poco tiempo antes había alcanzado la Logia de Promulgación”.

Es evidente, por lo tanto, que Peter Gilkes estaba en posición de saber de antemano las posibles decisiones que  la Logia de Reconciliación habría de adoptar, y que asistió a esa Logia (como lo hiciera en diez oportunidades), no como alumno, sino más bien en calidad de crítico experto, que ya había memorizado de la A a la Z el recientemente reestructurado alfabeto que otros estaban intentando aprender. Peter Gilkes, ya se ha dicho, fue Líder de Emulación en 1825, posición que ocupó hasta su muerte en 1833, cuando fue sucedido por uno de sus alumnos, el H:. Stephen Barton Wilson.

A continuación se transcribe un extracto del Informe del Festival de Emulación realizado en 1835:

“La reunión estuvo particularmente  marcada por la presencia de tres eminentes Liturgistas en Masonería, sobre los cuales existía consenso general, como si el manto de Peter Gilkes  hubiera caído sobre ellos. Sentimos en nuestra Asociación un orgullo honesto por los HH:. Dowley, Cooper y S.B. Wilson, y tenemos en tan alta consideración su valía para la Sociedad que nos tomamos la libertad de hacer tan público como podamos, su bien ganado carácter e inteligencia, basados en un cuidadoso cumplimiento de los Linderos de la Orden, en la estricta observancia de nuestras leyes y regulaciones, y más aún en la modestia con la cual ellos recibieron el homenaje que se brindó a sus méritos como individuos.”

Del hecho que los nombres de los HH:. Wilson, Dowley y Cooper son mencionados conjuntamente en el Informe como sucesores de Peter Gilkes en el Gobierno de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento, parece una deducción obvia que la Logia se encontraba controlada entonces, como lo está hoy en día, por un Comité de Preceptores experimentados, elegidos por sus miembros de entre los más expertos.

Es este control colectivo por un Comité experto la principal fortaleza del sistema de Emulación; ofrece testimonio convincente de la exactitud y confiabilidad de los métodos de Emulación y de la transmisión autorizada del Ritual de Reconciliación desde aquellos tiempos antiguos del periodo inmediatamente posterior a la Unión hasta el día de hoy. En una Logia de Instrucción normal, a medida que los Preceptores se van sucediendo, existe por supuesto la posibilidad, y uno podría decir la seguridad, de innovaciones filtrándose en el trabajo. Muchas de las diferencias que se ven en los trabajos hoy en día han surgido en los últimos años, ya sea a partir de la negligencia o como resultado de la influencia personal de algunos miembros imaginativos y de fuerte personalidad de algunas Logias en particular.




En la Logia de Emulación y Perfeccionamiento es justo decir que algo de esa naturaleza es imposible, por la simple razón de que siempre hay, y siempre ha habido, un Comité sobrepuesto, homogéneo, donde todos han jurado observar e insistir en la más minuciosa exactitud, y prevenir la más mínima desviación o innovación. Sentados a la izquierda de Peter Gilkes en sus días estuvieron los HH:. Barton Wilson y Dowley. Cuando Wilson sucedió a Gilkes tuvo con él a los HH:. Richards y Pike y, posteriormente, Thomas Fenn. Fue Fenn quien se convirtió en Líder a la muerte de Wilson en 1866, y él fue apoyado por los HH:. Richards y Murton y, subsecuentemente, por el H:. Robert Clay Sudlow. Sudlow sucedió a Fenn en 1883 y tuvo a su lado por un tiempo a los HH:. Spaul y Dawson. Luego vinieron sucesivamente los HH:. Rushton, Kentish, Lander y, en 1904, el actual Líder del Comité, H:. G.J.V. Rankin, que sucedió a Sudlow como Líder en 1914.

Al asumir el H:. Rankin como Líder, se añadió un cuarto miembro al Comité, y él tuvo el apoyo de los HH:. J.H.Jenks, J.J.Black y A.Scott. El H:. Jenks se retiró en 1916 y fue sucedido por el H:. S.Chalkley, mientras el H:. S.A.Knaggs tomó el lugar del H:.Scott en 1920.

Los dirigentes de Emulación están permanentemente alertas para preservar la transmisión del Ritual. En los últimos años, habiendo aumentado el trabajo enormemente, se ha cargado mayor presión sobre los miembros del Comité; Por ello, a principios de 1926, se decidió agrandar adicionalmente el colectivo de dirección. Los dos hermanos elegidos fueron los HH:. A.B.Wilson y Herbert F. Inman. El H:. Chalkley renunció a fines de 1928 y fue sucedido por el H:. A.J.Peyton. El H:. Inman renunció en Marzo de 1929 y fue sucedido por el H:. H.C. Tasker, quien fue elegido en Enero de 1930.

Así se ve que el Comité de Emulación ha sido siempre una cadena fuerte y sólida desde los tiempos de Peter Gilkes, y las innovaciones han sido imposibles hasta donde es humanamente posible. También debe recordarse que cada miembro que ingresa al Comité de Emulación ha sido personalmente instruido y capacitado por su predecesor. Cada uno de ellos debe cumplir un largo periodo de aprendizaje, generalmente como Preceptor de una de las Logias de  Instrucción reconocidas.

A pesar de que el término “Comité de Emulación” es generalmente aceptado para referirse a aquellos eminentes instructores que ocupan la Barra del Comité para tomar control del trabajo ceremonial de los trabajos semanales, uno no debe perder de vista los invalorables servicios brindados a la Logia de Perfeccionamiento por muchos distinguidos Hermanos que han ocupado los cargos de Tesorero y Secretario.



El H:. John Hervey, Gran Secretario, fue un miembro activo de Emulación por cerca de cuarenta años y fue Tesorero por muchos años antes de su muerte en 1880. Fue sucedido por el H:. Thomas Fenn P.G.D., quien ocupó el cargo hasta 1894. El H:. Sir Edgard Letchworth, Gran Secretario,  que había ingresado a Emulación en 1875, sucedió al H:. Frenn, y ofició como Tesorero hasta 1917, cuando fue seguido por el actual Gran Secretario, H:. Sir Colville Smith. Esta larga y cercana asociación entre la Logia de Emulación y Perfeccionamiento y los Secretarios de la Gran Logia Unida es en si misma una garantía de la confiabilidad de Emulación como el estándar reconocido del Ritual de la Orden Inglesa.

Los Secretarios de Emulación han generado mucho Francmasones celosos y eminentes.

Las comparaciones son generalmente consideradas como “odiosas”, pero debe quedar establecido que ningún Hermano puede haber dado mayor servicio a Emulación en esta oficina de alta responsabilidad que el H:. J. Ernest Franck, P.A.G.S. Wks., quien se retiró en Enero de 1931, después de ocupar el cargo por diez años. Fue sucedido por el H:. S.P. Larkworthy, L.R., que fue lamentablemente obligado por razones personales a renunciar al cargo después de solamente un año de servicio. El H:. Larkworthy fue seguido por el  H:. Tte. CNl. G.P.Orde,

Solo aquellos que han estado íntimamente asociados con el trabajo de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento pueden formarse una idea justa de la gran cantidad de trabajo arduo  que recae sobre el Secretario y el Secretario Adjunto. En el cargo mencionado al final el H:. Frank W. Simmonds, P.A.G.Reg., ha ejercido desde 1925, y es uno de los oficiales más populares en la Casa Central.

El 23 de Febrero de 1894, el difunto H:. R. Clay Sudlow, para entonces Líder de Emulación, hizo la siguiente afirmación:

“Consideramos la confianza que nos ha sido depositada como algo muy importante, algo sagrado, y hablado por mí mismo y, estoy seguro, también en nombre de mis colegas, puedo decir que esa confianza será preservada de la manera más leal, más honorable y más religiosa”-

No puede haber duda alguna de que un espíritu similar anima a los miembros del Comité de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento hasta el día de hoy.



Durante el discurso pronunciado en 1894, el M:.V:.H:. Sir Edgard Letchworth, entonces Gran Secretario, afirmó que los registros de la Gran Logia probaban concluyentemente que la Logia de Emulación y Perfeccionamiento era considerada como el estándar de perfección Masónica.

Ocho años después, el mismo Hermano eminente escribió:

“EL trabajo actual de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento es generalmente aceptado como una ejemplificación del Ritual autorizado”.

El 2 de Marzo de 1923, el M:.V:. Past Gran Maestro, el Hon. Lord Ampthill, dijo en el transcurso de un discurso:

La Logia de Emulación y Perfeccionamiento ha mantenido por aproximadamente cien años un estándar uniforme del Ritual, mismo que ha permanecido sin alteraciones.”

El 24 de Febrero de 1928, el Gran Secretario, M:.V:.H.. Sir Colville Smith, afirmó:

“Debemos agradecer a la Logia de Emulación y Perfeccionamiento por mantener el estándar del Ritual por más de un siglo.”

El recuento precedente de la historia y objetivos de la Logia de Emulación y Perfeccionamiento puede ser suficiente para permitir a un Masón responder  a la pregunta que encabeza el presente capítulo. Emulación, podrá ver, es algo más que el simple nombre dado a un particular modo de trabajo; es el nombre de una famosa institución Masónica cuya influencia se ha extendido a lo largo y ancho del mundo Masónico de habla inglesa; una institución que ha, por más de un siglo, mantenido como su principal objetivo preservar y transmitir el sistema ritualístico que recibió, ciento dieciséis años atrás , el sello de aprobación de la Gran Logia Unida de Inglaterra.

jueves, 29 de marzo de 2012

LA SUSTANCIA DEL NÚMERO


LA SUSTANCIA DEL NÚMERO


Por  E:.C:. Roberto Alba
A pesar de ser el lenguaje universal de la ciencia y el objetivo final de múltiples teorías científicas, el status de la matemática en tanto disciplina del saber humano es notoriamente borroso. ¿Qué es, específicamente, la matemática? Thomas Tymoczko del Smith College nos lleva a un tour por los extraños bucles de esta cuestión. Para empezar veamos algunas respuestas curiosas.
Para Friederich Ludwig Frege (1848-1925), el fundador de la lógica matemática y de la teoría del significado modernas, la matemática es un tipo de metafísica, la ciencia más general de la realidad que incesantemente busca "las leyes de las leyes naturales". En este mismo sentido podemos afirmar hoy en día que en efecto las matemáticas forman una especie de andamiaje metafísico del edificio científico. Por su parte, Rudolf Carnap (1891-1970), el destacado filósofo del Círculo de Viena y del positivismo lógico, consideraba las matemáticas como un tipo de lenguaje que busca las consecuencias analíticas de ciertas convenciones lingüísticas. Ciertamente, la matemática es un tipo de lenguaje, el más abstracto de ellos, con el que se expresan cierto tipo de relaciones mediante signos convencionales. Sin embargo se antoja que es algo más que un lenguaje, o bien, que si aceptamos que es un lenguaje, no se nos aclara con ello más que su léxico. Poco podemos decir de cuál es el significado de los signos y las operaciones. Para otro de los matemáticos más formidables del siglo, Kurt Godel (1906-1978), el mismo que demostrara con el famoso teorema de la incompletud la imposibilidad de probar o falsificar las proposiciones matemáticas a partir de sus axiomas fundamentales, la matemática es un tipo de psicología introspectiva que informa de ciertas construcciones del pensamiento o la imaginación, o mejor aún, un tipo de geografía interior que busca precisar ciertos mapas del paisaje mental. Por más que nos pueda sorprender esta declaración, no podemos dejar de reconocer que las leyes matemáticas emanan de operaciones cognitivas necesariamente restringidas o moduladas por el aparato mental. Este mismo tipo de pensamiento late en el fondo de la filosofía racionalista que supone que el Conocimiento surge de la propia mente más que de los objetos del mundo. No en vano varios de los mayores filósofos racionalistas como Descartes o Leibniz fueron matemáticos.
Ahora bien, en el lado opuesto nos encontramos al empirista John Stuart Mill (1806-1873), para quien la matemática es una ciencia natural, de hecho la ciencia más inductiva que existe. Para los empiristas primero son los objetos, digamos los dedos, y de su percepción se derivan los conocimientos, digamos los números y sus operaciones. Es curioso que esta idea, que se nos antoja del mayor sentido común, sea la que menos aceptación tenga en los círculos matemáticos y de filosofía de la ciencia y haya sido refutada de manera contundente por Frege. El argumento que plantea es de una diáfana brillantez. Dice que si la matemática es empírica, entonces debe estudiar objetos reales, incluidos los procesos y los eventos. Por lo tanto, los objetos que estudia la matemática serían reales y no imaginarios o abstractos. En este punto el empirista se ve obligado a admitir aquello de lo que abjura: el número, la función, el logaritmo o la integral serían reales y no abstractos; de hecho, tan reales como las manzanas y los átomos. Pero como no hay números puros observables en el mundo habría que pensar en ellos como arquetipos de Platón, es decir, como objetos existentes en realidad, aunque en un plano ideal o trascendental donde fungen como templetes o modelos.
Algún pensador ha dicho que los matemáticos pueden disfrutar de los beneficios del platonismo sin tomar las responsabilidades. En otras palabras, los matemáticos pueden hablar como si sus entidades abstractas existieran, ¡pero sin realmente creer en ellas! La matemática sería así una especie de mitología, en la que usamos los mitos para entender ciertas realidades, explicar ciertos fenómenos o fundamentar los valores éticos, pero no creemos que Zeus o Edipo existan "en realidad". Sin embargo esto no explica por qué todos estamos de acuerdo en las pruebas matemáticas ni por qué no tenemos la misma actitud de referirnos a los átomos o las manzanas como si existieran pero sin realmente creerlo.
William Quine (nacido en 1908), el famoso lógico de Harvard y uno de los padres de la llamada filosofía analítica, argumentó que la matemática es un universo continuo y no separado del de la ciencia y que ambas eran necesarias para justificar nuestra experiencia. El número y el átomo son postulados cuya existencia se justifica plenamente por el papel que desempeñan en explicarnos las cosas. Según esto, las matemáticas no son completamente empíricas, o sea, que no están totalmente ancladas a la realidad, pero tampoco son pura geografía mental, sino que flotan en el limbo entre ambos mundos. Resumiendo: son casi empíricas."
Pongámoslo en términos del matemático inglés Roger Penrose: ¿son las matemáticas invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos llegan a resultados en sus cálculos, ¿producen sólo construcciones mentales o encuentran, como se supone que hace la ciencia, realidades que estaban ahí listas para ser descubiertas? Es de notarse que si aceptamos la segunda opción, como lo hace Penrose sin ambages, de nuevo le estamos otorgando al número un status de realidad concreta en el sentido del arquetipo platónico.
En este momento debe hacer su entrada al espectáculo la computadora. Después de todo la computadora no es una persona, aunque hay quien argumenta lo contrario. En cualquier caso la computadora no tiene mente en el sentido humano del término y es, además, un aditamento tecnológico como el ábaco o el microscopio, pero un aditamento que habla (o mejor dicho que opera) con lenguaje matemático. En ese caso podemos hacer una pregunta determinante: además de hacer operaciones matemáticas, ¿puede la computadora probar o producir un teorema? La respuesta es afirmativa. La computadora puede probar teoremas, incluso complejos, pero la manera como lo hace no se parece a la forma, por ejemplo, como se prueba el teorema de Pitágoras, sino que se parece más a un experimento científico cuyo resultado puede obtenerse si se reproducen ciertas condiciones. Conclusión: la computadora tampoco nos demuestra que la matemática sea netamente racional o empírica. Nos quedamos con la nebulosa solución de Quine.
El punto fundamental que Tymoczko quiere demostrar es que los objetos abstractos existen y que pueden ser analizados científicamente. Más aún, que los objetos del mundo son también abstractos. Recordemos que la diferencia entre lo concreto y lo abstracto es que lo primero ocurre en el espacio y el tiempo y lo último supuestamente no. Con los objetos concretos —pelotas, bosques, nubes, átomos o manzanas— podemos interactuar, con los abstractos —números, pensamientos, creencias— no. Ahora bien, si consideramos que todos los objetos son abstractos, nos vemos en la necesidad de aceptar que sólo existe la mente o de que es lo único de lo que podemos estar seguros. De esto, que es idealismo puro, reniega la ciencia, aunque no faltará algún neurocientífico astuto que diga que, en efecto, la realidad es fabricada no precisamente por la mente sino por el cerebro, lo que viene a ser lo mismo. Todo lo que percibimos, pensamos, inferimos, incluido el lenguaje común y el matemático, es producto de la función cerebral o la función misma. Sin embargo, si queremos ser insidiosos, podremos agregar que también el cerebro es un objeto más de ese mundo de la mente.
En fin, quizás se pueda considerar al materialismo y al idealismo (o a sus parientes, el empirismo y el racionalismo) como puntos de vista complementarios, o que los objetos son a la vez concretos (es decir, que existen fuera de un observador) y abstractos (que su representación mental es una construcción). Pero dentro de esta conciliadora solución, ¿dónde quedó el número?
Una asociación entre el número y lo sagrado en las grandes civilizaciones de la Historia. Puede ser presentada asi
Egipto: En las márgenes del río Nilo, en el norte de Africa, floreció la civilización egipcia aproximadamente entre el siglo XXX a.C. y los primeros siglos de nuestra era. Las pirámides de Giza fueron erigidas por la IV dinastía, entre el 2550 y 2480 a.C3. Fueron construidas como parte del culto al faraón, puesto que eran su residencia o morada eterna en la otra vida.
Se ha interpretado de diversas maneras el significado de estas obras monumentales. Según C. Dukelsky "...las pirámides representaban la posibilidad de ascender al cielo, de conectar lo terrenal con lo celestial...". La forma piramidal se asociaba a los rayos solares, que caen oblicuamente sobre la tierra, y que el faraón usaba como rampa para ascender al cielo. Esta forma simbolizaba también la montaña primordial que emerge de las aguas en la cosmogonía egipcia. Esta cosmogonía fue formulada en el momento de unificación del Alto y Bajo Egipto (hacia el 3000 a.C.) y explica el origen del universo. Según este mito, antes del cosmos ordenado existía un océano en la oscuridad. Atum, Señor de Heliópolis, creador del universo y dios sol, se posó en un montículo emergente de este océano. Este montículo primordial tomó la forma de una pirámide. La pirámide es así el orden que surge del caos.
La construcción de las pirámides respondía a una forma geométrica pura y se orientaba escrupulosamente según los cuatro puntos cardinales: "...La idea de perfección celestial estaba implícita en la forma geométrica pura y en su cuidadosa ubicación en relación al universo: la disposición de las pirámides está vinculada con los puntos cardinales y sus ejes coinciden con estas direcciones...".
Para N. Schulz orden y constancia son los términos que mejor caracterizan la arquitectura monumental egipcia. Las pirámides parecen ser la concreción de este ideal de orden eterno. Dos hechos naturales orquestaban, con su eterna regularidad, la vida de toda una civiización: el recorrido de sur a norte del río Nio, y el recorrido de este a oeste del sol. La marcha del sol, regulaba los ritmos diarios. La crecida del Nio, los ritmos estacionales. Por lo tanto, estos dos hechos simbolizaban la presencia concreta del orden divino en la vida cotidiana. El orden era, para los egipcios, algo sagrado, en tanto que era impuesto por los dioses. Y este orden se representaba simbólicamente en la arquitectura monumental. De esta manera, la arquitectura monumental egipcia reproduce el cosmos organizado, y por eso debe, a su vez, organizarse con la perfección del número.
Efectivamente, las pirámides están organizadas según el número. Herodoto aprendió de los sacerdotes de Heliópolis una serie de relaciones entre sus planos. Una de estas relaciones dice que el cuadrado de la altura de la pirámide es igual al área (superficie) de cualquiera de sus caras triangulares. Si h es la altura de la pirámide, 2b es la base y x la altura de cualquiera de sus caras triangulares, entonces esta relación puede expresarse como:
H2= bx

Esta relación se conoce como Relación de Herodoto. Por otro lado, aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene una segunda relación, común a cualquier pirámide:
X2 = b2+ h2
Combinando ambas ecuaciones se obtiene la siguiente relación entre la altura de la pirámide y uno de los lados de su base:

donde            es el número de oro, cantidad irracional sobre la que volveré repetidamente a lo largo del presente trabajo.
A partir de estas relaciones es posible derivar otras dos:
1)  relación de la superficie total de la pirámide a la superficie de las cuatro caras triangulares:

r=
1
1+ ΦΦ

2)  relación de la superficie de las cuatro caras triangulares a la superficie de la base: r = Φ
Es decir que aparece un encadenamiento de relaciones de proporción basadas en el número Φ .
El conocimiento matemático de los antiguos egipcios fue empírico y aplicado a casos concretos. La posibilidad de enunciar lógicamente ciertos principios es muy posterior. No obstante, el desarrollo alcanzado por sus matemáticas les permitió la elaboración de cálculos sumamente complicados. Se cree que Pitágoras realizó largos viajes por Egipto, durante los cuales aprendió las ciencias de la geometría y la aritmética13. Volveré sobre este punto más adelante. Por el momento, me interesa destacar la recurrencia de la proporción áurea en la arquitectura egipcia. El historiador M. Ghyka ha encontrado otras interesantes relaciones en la cámara del rey de la Pirámide de Cheops, y en otros monumentos sagrados de Egipto, todas ellas basadas en el número irracional Φ. Este es un número que ha condicionado la estética occidental. De lo arriba expuesto se concluye que su vinculación con el arte sagrado se remonta por lo menos al siglo XXV a.C.; es decir que tiene una antigüedad de al menos 4500 años.
La India y el Lejano Oriente: A partir del siglo XVII a.C. llegaron al valle del río Indo sucesivas oleadas de invasores de raza aria, los cuales sojuzgaron a los pueblos nativos imponiéndoles su religión. Con el tiempo las deidades nativas (drávidas) e invasoras (vedas) fueron incorporadas a una única religión: el Hinduismo. Los Brahmanes fueron los grandes guías que condujeron a esta síntesis. La civilización del Valle del Indo llegó a alcanzar un altísimo grado de conocimiento matemático. A ella debemos una gran porción de nuestro actual conjunto de herramientas matemáticas. Fueron los creadores del sistema de numeración decimal con notación posicional, de uso corriente en Occidente desde fines del siglo XVI. Los numerales que actualmente usamos se originaron, asimismo, en esta cultura.
La pericia en el manejo de la geometría alcanzada por los hindúes fue impulsada por los requisitos del ritual. La realización de altares y templos requería de un profundo conocimiento de los principios de la geometría. Sin embargo, esta sabiduría jamás llegó a plasmarse en forma de conocimiento científico organizado. Tal como en Egipto y en la Mesopotamia, en la India no existieron teoremas, sino reglas. Estas reglas no son el resultado de una demostración, sino que obedecen a la necesidad de subordinar la construcción a formas consideradas como perfectas.
Los altares constituyen uno de los ejemplos más sorprendentes del uso ritual de la matemática. Eran objetos sagrados, y se los consideraba dotados de poderes para enfrentar la adversidad. Se construían con ladrillos cortados según dos formas geométricas fundamentales, el cuadrado y el triángulo rectángulo, y dos formas geométricas derivadas de las anteriores, el paralelepípedo inclinado y el trapecio rectangular. Una de las formas más corrientemente empleada era el altar en forma de halcón. El vuelo del halcón es uno de los más perfectos de la Naturaleza, y se supone que el altar en forma de halcón reflejaba el deseo del constructor de alcanzar los cielos18. El altar se construía en cinco capas superpuestas, de 200 ladrillos cada una. Esta forma de construcción emplea, por lo tanto, un total de 1000 ladrillos. Es probable que este número fuese considerado como sagrado, puesto que, como enuncié anteriormente, los hindúes fueron los creadores del sistema decimal, y el número 1000 es la tercera potencia del número 10, base de dicho sistema19. Las capas de ladrillos no eran idénticas: las capas primera, tercera y quinta seguían una disposición, mientras que las capas segunda y cuarta, seguían otra diferente. Como resultado, ningún ladrillo apoyaba sobre otro de igual forma y tamaño, cumpliendo así con las exigencias del complicado ritual de construcción.
Los altares ceremoniales planteaban "...los problemas más desafiantes en su construcción..."20. Uno de estos problemas consistía en aumentar el área del altar conservando la forma y la proporción. Dadas las formas geométricas empleadas en los ladrillos, todas ellas reductibles a triángulos rectángulos, resulta bastante obvia la necesidad de manejar el Teorema de Pitágoras para conservar las proporciones al variar el tamaño de las edificaciones. Con este fin, se aplicaban reglas de duplicación del área de un cuadrado o de un rectángulo. Estas reglas pueden enunciarse como sigue:
Regla de duplicación del área de un rectángulo: La cuerda diagonal de un rectángulo produce, al construirse sobre ella un cuadrado, lo que producen a la vez el largo y el ancho.
Regla de duplicación del área de un cuadrado: La cuerda diagonal de un cuadrado produce, al construirse sobre ella otro cuadrado, el doble del área del cuadrado original.
Puede demostrarse que, efectivamente, estas reglas no son otra cosa que el enunciado del Teorema de Pitágoras. Pero en este caso no surge como un enunciado lógico, sino que deriva de reglas rituales de construcción.
La arquitectura sagrada de la India se basó asimismo en complejas relaciones matemáticas, desconocidas en Occidente. La teoría de las proporciones en la India deseaba, ante todo, establecer una relación favorable entre la obra del hombre y la Naturaleza: "...una especie de relación entre arquitectura y Naturaleza establecida sobre la base de las fuerzas invisibles antes que sobre la armonía estética...". El siguiente párrafo, extraído del especialista en arquitectura hindú A. Volwahsen, pone en evidencia la gran diferencia existente entre el concepto de proporción imperante en India y en Occidente: "...En el contexto de los cánones indios, la palabra proporción no se concibe como una simple relación de medida entre dos o varias partes de una edificación... la doctrina (de las proporciones) no se limita a proporcionar los diferentes elementos de un templo para satisfacer aspiraciones estéticas...", sino que busca, antes que nada, armonizar el edificio con la Norma Cósmica.
A través de formulas estrictas se incorporaban a la arquitectura ciertos números considerados como mágicos. Estos números tenían por finalidad propiciar una relación favorable entre la obra a emplazar y el resto del mundo, incluidos los dioses. Las ecuaciones se aplicaban al ancho, longitud, y perímetro del edificio, determinando así sus medidas. También existían expresiones matemáticas para calcular el día propicio para el inicio de la edificación, y otras, de importancia menor, que tenían en cuenta la casta del fundador y la duración del templo. En las ecuaciones ingresaban números que simbolizaban las ocho orientaciones cardinales, los planetas, los signos zodiacales, la duración del mes y de la semana, etc. El conjunto así formado configuraba un complicado sistema de seis ecuaciones, sobre el cual se imponían, además, otras restricciones adicionales26. Lamentablemente ignoramos de qué manera se las arreglaron los sacerdotes brahmánicos para resolver semejante conjunto de ecuaciones. Dicha resolución constituía la primera fase de la construcción del templo.
La segunda fase era el trazado de la planta. Este trazado seguía reglas geométricas muy estrictas, asociadas siempre a la simbología religiosa. El primer paso era delinear la mandala. La mandala es el principio estructurador tanto del templo como de la ciudad. Es una estructura concéntrica, que sugiere el pasaje de estado en estado, desde lo material a lo espiritual. Es emblema del cosmos, e instrumento para alcanzar el más alto grado de concentración en la meditación27. La planta de todo templo hindú es, esencialmente, una mandala de forma cuadrada, orientada según los puntos cardinales. Por otro lado, para el constructor hindú las formas geométricas llevaban asociadas un símbolo. El cuadrado simbolizaba la forma perfecta, estática, el absoluto, manifestación del principio supremo de todas las cosas. Era el triunfo del orden sobre el caos. Por lo tanto el trazado de las plantas de los templos, al obedecer al cuadrado, era al mismo tiempo el símbolo del triunfo del orden sobre el caos, y la representación de la mandala.
También se recurría al triángulo, y particularmente al triángulo equilátero: "...el empleo del cuadrado como esquema fundamental, y del triángulo equilátero como principio de composición, se deben principalmente a motivos religiosos. Cada cuadrado servía de residencia a una divinidad, y la situación del cuadrado en la planta dependía de la importancia del dios. El cuadrado principal se destinaba a Brahma... Un templo hindú, en cierta manera, representa un modelo cultual del mundo..."28. En tercer lugar, se empleaba también el círculo, que simbolizaba lo cícico, el movimiento, lo que muta o varía; por lo tanto, se vinculaba al mundo terrenal. De esta manera, en el trazado de la planta del templo, al incluir tanto el cuadrado como el círculo, simbólicamente el mundo celeste y el terrestre se encontraban y fundían: "... Cada templo... era un axis mundi, un centro sagrado en el que el mundo celeste, el terrestre y aún el inferior, se encontraban...".
El simbolismo asociado a la mandala, y al cuadrado, podrá ser mejor comprendido a la luz del mito que lo origina. El mito del Vastu Purusha relata que una cosa informe y sin nombre llenaba Cielo y Tierra. Los dioses le comprimieron contra la Tierra, de cara al suelo. Luego Brahma ordenó a los dioses que la ocuparan y la llamaran Vastu Purusha. Entonces
Vastu Purusha es "...la forma en que existe el ser ordenado, el mundo sensible..."30 desde que los dioses lo dispusieron así. El mito también describe a Purusha como un viejo al que los dioses mantienen aprisionado contra el suelo. De esta manera la mandala es la forma en la que el Purusha se encuentra encerrado, o la forma en que el caos ha sido ordenado. A su vez, la mandala se divide en pequeñas porciones o pada, y cada una de ellas representa el sitio de una divinidad: "...Cada una divinidad que lo mantiene prisionero cubre una pequeña porción cuadrada...".
Si el cuadrado es la forma perfecta y la representación del orden, entonces la única forma perfecta de dividir un cuadrado es hacerlo, a su vez, en cuadrados menores. Cada uno de estos cuadrados menores, o pada, es la residencia de un dios. Los libros sagrados del hinduismo indican que sólo hay 32 maneras posibles de dividir la mandala en padas. La más simple es conservar el cuadrado de la mandala íntegro, y se corresponde con el cálculo del cuadrado de la unidad, ya que 1x1 =1 . Las demás formas consisten en dividir la mandala en 4, 9, 16, 25, 36, ... hasta 1024 pequeños cuadrados idénticos. Observamos que esta manera de dividir el cuadrado original corresponde a la siguiente regla:
2×2=4
3×3 =9
4×4=16
5×5=25
6×6=36 
y así sucesivamente hasta llegar a  32×32= 1024
Se trata entonces de la serie de los cuadrados de los números naturales desde el 1 hasta el 32. En el centro se ubica Brahma. Próximos al centro se encuentran los dioses esenciales. Y en la periferia , los dioses inferiores de la jerarquía celestial.
Existen otros elementos del arte hindú que nos hablan del profundo conocimiento de la geometría que poseía este pueblo. Los sriyantra eran objetos diseñados para el culto32: la contemplación de sus intrincadas formas geométricas inducía a la meditación. Los más antiguos sriyantra hallados datan del siglo VII d.C., pero estos objetos ya son nombrados en escritos védicos del siglo XII a.C. Se trata de complicadísimas construcciones poligonales formadas a partir de la superposición de triángulos insertos dentro de una serie de círculos concéntricos. En el interior de los círculos, quedan determinados 43 pequeños triángulos, dentro de los cuales residen los dioses. Un camino posible de meditación debe recorrer la figura desde el exterior hacia el interior, atravesando la frontera cuadrada con sus cuatro puertas33. El exterior representa el reino del desorden y el caos, y las puertas permiten el acceso al reino de los dioses y el orden. El camino inverso, desde el interior hacia el exterior, representa la evolución desde la armonía estática hacia la diversidad y complejidad del caos.
La construcción de los sriyantra plantea complejos problemas matemáticos a resolver. Uno de los más difíciles es el trazado de 9 grandes triángulos, que, al cruzarse entre sí deben dibujar de manera exacta y perfecta 43 triángulos más pequeños donde residen los dioses. Evidentemente, los triángulos mayores deben guardar entre sí proporciones y distancias bien determinadas para que su intersección dibuje exactamente 43 triángulos menores. A lo largo de toda la figura resultante deben producirse cruces de a 3 lineas, exactamente en un punto. Deseo hacer hincapié en el grado de dificultad que presenta este trazado ya que debe lograrse, sin margen para el error, que se produzcan intersecciones precisas en todo el espacio del dibujo.
Existen sriyantras aún más complicados, en los cuales los 9 triángulos mayores no son triángulos eucidianos sino triángulos curvos. Se trata de triángulos cuyos tres lados están formados por líneas curvadas, tal como se verían si estuviesen trazados sobre una esfera. Son idénticos a los triángulos de las modernas geometrías de Riemann, o geometrías no eucidianas. Los ejemplos más antiguos de sriyantra curvos proceden del siglo VII d.C., pero su sofisticación indica que los hindúes deben haberse iniciado en su estudio muchos siglos antes.
Entre los sriyantra, son destacables aquellos que fueron tallados en cristal de roca. Estos están diseñados de tal manera que concentran la luz en un único punto en su ápice, simbolizando así la concentración del orante en su más alto grado36. Esta manera de tallar las rocas implica un asombroso conocimiento del problema de la refracción de la luz, puesto que por medio del ángulo de las talladuras se va guiando a los diferentes haces de luz que inciden sobre el cristal hasta hacerlos converger en un punto. Los sriyantra tallados también tenían por finalidad la meditación asociada al ritual.


Es evidente que en la civilización del valle del Indo las necesidades del ritual impulsaron un importante desarrollo de las matemáticas. Probablemente ésta sea una de las culturas en las que la asociación entre la matemática y lo sagrado aparece con más fuerza.
Hemos visto civilizaciones que, habitando en lugares muy diferentes del planeta, coinciden en incorporar ciertas nociones matemáticas en sus objetos de uso ritual o en sus monumentos conmemorativos. En las culturas aparecen ciertos elementos comunes: la ortogonalidad como manera primaria de organización espacial, el cuadrado como forma geométrica asociada a lo sagrado, y el manejo a nivel empírico del Teorema de Pitágoras, en algunos casos fuertemente vinculado a la construcción de objetos sagrados. En el caso de Egipto, la construcción de las pirámides implica proporcionar diferentes partes según relaciones que involucran al número . En particular, los planos de las pirámides presentan relaciones encadenadas según este módulo común. Este encadenamiento de relaciones de proporción será una condición fundamental de la arquitectura occidental, trasmitida a través de Vitruvio. Su origen se encuentra probablemente en principios pitagóricos. Y como ya adelanté, se cree que Pitágoras absorbió éstas y otras nociones durante los largos viajes que realizó por Egipto y regiones del Cercano Oriente Antiguo.
La civilización del Valle del Indo mostró una particular inclinación por las matemáticas. Fue una de las pocas culturas de la Antigüedad que desarrolló un sistema numérico con notación posicional. Fue asimismo creadora del sistema decimal. Estas dos condiciones hicieron de su sistema numérico uno de los más prácticos y poderosos, razón por la cual ha perseverado hasta nuestros días46. Esta cultura amante de las matemáticas elevó a la categoría de sagradas ciertas propiedades geométricas y aritméticas, transformándolas en parte integrante de su ritual.
¿Qué es lo que lleva a civilizaciones diferentes y distantes entre sí a incorporar, casi como una regla, al número en su arte sagrado? Podríamos responder que son las necesidades constructivas las que impulsan esta iniciativa. Sin embargo, esta respuesta no alcanza a explicar por qué razón, entonces, aparece con tanta frecuencia el número en objetos tales como los sriyantra hindúes o las hachas ceremoniales Olmecas. La necesidad de incorporar el número al objeto sagrado parece obedecer a otras causas.
El orden de la naturaleza, con sus regularidades inmutables, trasciende al hombre. Todo en la naturaleza está ordenado. La sucesión de los días y las noches. Los ciclos estacionales de los cuales depende el hombre para sobrevivir. La marcha de los astros en el cielo. La salida y declinación diaria del sol, y la orientación cardinal que deriva de este ciclo. Y este orden obedece al número y a la geometría: esas son las herramientas con las cuales, desde tiempos remotos, cuenta el hombre para descifrar los secretos del cosmos. Hoy explicamos este orden recurriendo a las ciencias. Pero las civilizaciones incipientes recurrieron al mito y a la acción de las divinidades. Por lo tanto, en sus cosmogonías, son las divinidades las que imponen el orden, las que organizan la naturaleza según el número. Este orden debe reflejarse en el monumento y el artículo ritual. A través del número el hombre puede, a la manera de los dioses, imponer el orden en sus obras. Por lo tanto, a través del número el hombre se acerca, al menos en cuanto a su labor creadora, al demiurgo. Y también a través del número es que el hombre puede llegar a entender la naturaleza, que es la obra de los dioses, y a predecir sus ciclos. El número es, entonces, una herramienta invalorable que tiende un puente entre lo imperfecto en la faz de la tierra, y lo perfecto, lo sagrado, que impera en los dominios de la divinidad.

Es Cuanto :.
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