LA SUSTANCIA DEL NÚMERO

LA SUSTANCIA DEL NÚMERO

Por  E:.C:. Roberto Alba

A pesar de ser el lenguaje universal de la ciencia y el objetivo final de múltiples teorías científicas, el status de la matemática en tanto disciplina del saber humano es notoriamente borroso. ¿Qué es, específicamente, la matemática? Thomas Tymoczko del Smith College nos lleva a un tour por los extraños bucles de esta cuestión. Para empezar veamos algunas respuestas curiosas.

Para Friederich Ludwig Frege (1848-1925), el fundador de la lógica matemática y de la teoría del significado modernas, la matemática es un tipo de metafísica, la ciencia más general de la realidad que incesantemente busca "las leyes de las leyes naturales". En este mismo sentido podemos afirmar hoy en día que en efecto las matemáticas forman una especie de andamiaje metafísico del edificio científico. Por su parte, Rudolf Carnap (1891-1970), el destacado filósofo del Círculo de Viena y del positivismo lógico, consideraba las matemáticas como un tipo de lenguaje que busca las consecuencias analíticas de ciertas convenciones lingüísticas. Ciertamente, la matemática es un tipo de lenguaje, el más abstracto de ellos, con el que se expresan cierto tipo de relaciones mediante signos convencionales. Sin embargo se antoja que es algo más que un lenguaje, o bien, que si aceptamos que es un lenguaje, no se nos aclara con ello más que su léxico. Poco podemos decir de cuál es el significado de los signos y las operaciones. Para otro de los matemáticos más formidables del siglo, Kurt Godel (1906-1978), el mismo que demostrara con el famoso teorema de la incompletud la imposibilidad de probar o falsificar las proposiciones matemáticas a partir de sus axiomas fundamentales, la matemática es un tipo de psicología introspectiva que informa de ciertas construcciones del pensamiento o la imaginación, o mejor aún, un tipo de geografía interior que busca precisar ciertos mapas del paisaje mental. Por más que nos pueda sorprender esta declaración, no podemos dejar de reconocer que las leyes matemáticas emanan de operaciones cognitivas necesariamente restringidas o moduladas por el aparato mental. Este mismo tipo de pensamiento late en el fondo de la filosofía racionalista que supone que el Conocimiento surge de la propia mente más que de los objetos del mundo. No en vano varios de los mayores filósofos racionalistas como Descartes o Leibniz fueron matemáticos.

Ahora bien, en el lado opuesto nos encontramos al empirista John Stuart Mill (1806-1873), para quien la matemática es una ciencia natural, de hecho la ciencia más inductiva que existe. Para los empiristas primero son los objetos, digamos los dedos, y de su percepción se derivan los conocimientos, digamos los números y sus operaciones. Es curioso que esta idea, que se nos antoja del mayor sentido común, sea la que menos aceptación tenga en los círculos matemáticos y de filosofía de la ciencia y haya sido refutada de manera contundente por Frege. El argumento que plantea es de una diáfana brillantez. Dice que si la matemática es empírica, entonces debe estudiar objetos reales, incluidos los procesos y los eventos. Por lo tanto, los objetos que estudia la matemática serían reales y no imaginarios o abstractos. En este punto el empirista se ve obligado a admitir aquello de lo que abjura: el número, la función, el logaritmo o la integral serían reales y no abstractos; de hecho, tan reales como las manzanas y los átomos. Pero como no hay números puros observables en el mundo habría que pensar en ellos como arquetipos de Platón, es decir, como objetos existentes en realidad, aunque en un plano ideal o trascendental donde fungen como templetes o modelos.

Algún pensador ha dicho que los matemáticos pueden disfrutar de los beneficios del platonismo sin tomar las responsabilidades. En otras palabras, los matemáticos pueden hablar como si sus entidades abstractas existieran, ¡pero sin realmente creer en ellas! La matemática sería así una especie de mitología, en la que usamos los mitos para entender ciertas realidades, explicar ciertos fenómenos o fundamentar los valores éticos, pero no creemos que Zeus o Edipo existan "en realidad". Sin embargo esto no explica por qué todos estamos de acuerdo en las pruebas matemáticas ni por qué no tenemos la misma actitud de referirnos a los átomos o las manzanas como si existieran pero sin realmente creerlo.

William Quine (nacido en 1908), el famoso lógico de Harvard y uno de los padres de la llamada filosofía analítica, argumentó que la matemática es un universo continuo y no separado del de la ciencia y que ambas eran necesarias para justificar nuestra experiencia. El número y el átomo son postulados cuya existencia se justifica plenamente por el papel que desempeñan en explicarnos las cosas. Según esto, las matemáticas no son completamente empíricas, o sea, que no están totalmente ancladas a la realidad, pero tampoco son pura geografía mental, sino que flotan en el limbo entre ambos mundos. Resumiendo: son casi empíricas."

Pongámoslo en términos del matemático inglés Roger Penrose: ¿son las matemáticas invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos llegan a resultados en sus cálculos, ¿producen sólo construcciones mentales o encuentran, como se supone que hace la ciencia, realidades que estaban ahí listas para ser descubiertas? Es de notarse que si aceptamos la segunda opción, como lo hace Penrose sin ambages, de nuevo le estamos otorgando al número un status de realidad concreta en el sentido del arquetipo platónico.

En este momento debe hacer su entrada al espectáculo la computadora. Después de todo la computadora no es una persona, aunque hay quien argumenta lo contrario. En cualquier caso la computadora no tiene mente en el sentido humano del término y es, además, un aditamento tecnológico como el ábaco o el microscopio, pero un aditamento que habla (o mejor dicho que opera) con lenguaje matemático. En ese caso podemos hacer una pregunta determinante: además de hacer operaciones matemáticas, ¿puede la computadora probar o producir un teorema? La respuesta es afirmativa. La computadora puede probar teoremas, incluso complejos, pero la manera como lo hace no se parece a la forma, por ejemplo, como se prueba el teorema de Pitágoras, sino que se parece más a un experimento científico cuyo resultado puede obtenerse si se reproducen ciertas condiciones. Conclusión: la computadora tampoco nos demuestra que la matemática sea netamente racional o empírica. Nos quedamos con la nebulosa solución de Quine.

El punto fundamental que Tymoczko quiere demostrar es que los objetos abstractos existen y que pueden ser analizados científicamente. Más aún, que los objetos del mundo son también abstractos. Recordemos que la diferencia entre lo concreto y lo abstracto es que lo primero ocurre en el espacio y el tiempo y lo último supuestamente no. Con los objetos concretos —pelotas, bosques, nubes, átomos o manzanas— podemos interactuar, con los abstractos —números, pensamientos, creencias— no. Ahora bien, si consideramos que todos los objetos son abstractos, nos vemos en la necesidad de aceptar que sólo existe la mente o de que es lo único de lo que podemos estar seguros. De esto, que es idealismo puro, reniega la ciencia, aunque no faltará algún neurocientífico astuto que diga que, en efecto, la realidad es fabricada no precisamente por la mente sino por el cerebro, lo que viene a ser lo mismo. Todo lo que percibimos, pensamos, inferimos, incluido el lenguaje común y el matemático, es producto de la función cerebral o la función misma. Sin embargo, si queremos ser insidiosos, podremos agregar que también el cerebro es un objeto más de ese mundo de la mente.

En fin, quizás se pueda considerar al materialismo y al idealismo (o a sus parientes, el empirismo y el racionalismo) como puntos de vista complementarios, o que los objetos son a la vez concretos (es decir, que existen fuera de un observador) y abstractos (que su representación mental es una construcción). Pero dentro de esta conciliadora solución, ¿dónde quedó el número?

Una asociación entre el número y lo sagrado en las grandes civilizaciones de la Historia. Puede ser presentada asi

Egipto: En las márgenes del río Nilo, en el norte de Africa, floreció la civilización egipcia aproximadamente entre el siglo XXX a.C. y los primeros siglos de nuestra era. Las pirámides de Giza fueron erigidas por la IV dinastía, entre el 2550 y 2480 a.C³. Fueron construidas como parte del culto al faraón, puesto que eran su residencia o morada eterna en la otra vida.

Se ha interpretado de diversas maneras el significado de estas obras monumentales. Según C. Dukelsky "...las pirámides representaban la posibilidad de ascender al cielo, de conectar lo terrenal con lo celestial...". La forma piramidal se asociaba a los rayos solares, que caen oblicuamente sobre la tierra, y que el faraón usaba como rampa para ascender al cielo. Esta forma simbolizaba también la montaña primordial que emerge de las aguas en la cosmogonía egipcia. Esta cosmogonía fue formulada en el momento de unificación del Alto y Bajo Egipto (hacia el 3000 a.C.) y explica el origen del universo. Según este mito, antes del cosmos ordenado existía un océano en la oscuridad. Atum, Señor de Heliópolis, creador del universo y dios sol, se posó en un montículo emergente de este océano. Este montículo primordial tomó la forma de una pirámide. La pirámide es así el orden que surge del caos.

La construcción de las pirámides respondía a una forma geométrica pura y se orientaba escrupulosamente según los cuatro puntos cardinales: "...La idea de perfección celestial estaba implícita en la forma geométrica pura y en su cuidadosa ubicación en relación al universo: la disposición de las pirámides está vinculada con los puntos cardinales y sus ejes coinciden con estas direcciones...".

Para N. Schulz orden y constancia son los términos que mejor caracterizan la arquitectura monumental egipcia. Las pirámides parecen ser la concreción de este ideal de orden eterno. Dos hechos naturales orquestaban, con su eterna regularidad, la vida de toda una civiización: el recorrido de sur a norte del río Nio, y el recorrido de este a oeste del sol. La marcha del sol, regulaba los ritmos diarios. La crecida del Nio, los ritmos estacionales. Por lo tanto, estos dos hechos simbolizaban la presencia concreta del orden divino en la vida cotidiana. El orden era, para los egipcios, algo sagrado, en tanto que era impuesto por los dioses. Y este orden se representaba simbólicamente en la arquitectura monumental. De esta manera, la arquitectura monumental egipcia reproduce el cosmos organizado, y por eso debe, a su vez, organizarse con la perfección del número.

Efectivamente, las pirámides están organizadas según el número. Herodoto aprendió de los sacerdotes de Heliópolis una serie de relaciones entre sus planos. Una de estas relaciones dice que el cuadrado de la altura de la pirámide es igual al área (superficie) de cualquiera de sus caras triangulares. Si h es la altura de la pirámide, 2b es la base y x la altura de cualquiera de sus caras triangulares, entonces esta relación puede expresarse como:

H²= bx

Esta relación se conoce como Relación de Herodoto. Por otro lado, aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene una segunda relación, común a cualquier pirámide:

X² = b²+ h²

Combinando ambas ecuaciones se obtiene la siguiente relación entre la altura de la pirámide y uno de los lados de su base:

donde            es el número de oro, cantidad irracional sobre la que volveré repetidamente a lo largo del presente trabajo.

A partir de estas relaciones es posible derivar otras dos:

1)  relación de la superficie total de la pirámide a la superficie de las cuatro caras triangulares:

r= 1

1+ ΦΦ

2)  relación de la superficie de las cuatro caras triangulares a la superficie de la base: r = Φ

Es decir que aparece un encadenamiento de relaciones de proporción basadas en el número Φ .

El conocimiento matemático de los antiguos egipcios fue empírico y aplicado a casos concretos. La posibilidad de enunciar lógicamente ciertos principios es muy posterior. No obstante, el desarrollo alcanzado por sus matemáticas les permitió la elaboración de cálculos sumamente complicados. Se cree que Pitágoras realizó largos viajes por Egipto, durante los cuales aprendió las ciencias de la geometría y la aritmética¹³. Volveré sobre este punto más adelante. Por el momento, me interesa destacar la recurrencia de la proporción áurea en la arquitectura egipcia. El historiador M. Ghyka ha encontrado otras interesantes relaciones en la cámara del rey de la Pirámide de Cheops, y en otros monumentos sagrados de Egipto, todas ellas basadas en el número irracional Φ. Este es un número que ha condicionado la estética occidental. De lo arriba expuesto se concluye que su vinculación con el arte sagrado se remonta por lo menos al siglo XXV a.C.; es decir que tiene una antigüedad de al menos 4500 años.

La India y el Lejano Oriente: A partir del siglo XVII a.C. llegaron al valle del río Indo sucesivas oleadas de invasores de raza aria, los cuales sojuzgaron a los pueblos nativos imponiéndoles su religión. Con el tiempo las deidades nativas (drávidas) e invasoras (vedas) fueron incorporadas a una única religión: el Hinduismo. Los Brahmanes fueron los grandes guías que condujeron a esta síntesis. La civilización del Valle del Indo llegó a alcanzar un altísimo grado de conocimiento matemático. A ella debemos una gran porción de nuestro actual conjunto de herramientas matemáticas. Fueron los creadores del sistema de numeración decimal con notación posicional, de uso corriente en Occidente desde fines del siglo XVI. Los numerales que actualmente usamos se originaron, asimismo, en esta cultura.

La pericia en el manejo de la geometría alcanzada por los hindúes fue impulsada por los requisitos del ritual. La realización de altares y templos requería de un profundo conocimiento de los principios de la geometría. Sin embargo, esta sabiduría jamás llegó a plasmarse en forma de conocimiento científico organizado. Tal como en Egipto y en la Mesopotamia, en la India no existieron teoremas, sino reglas. Estas reglas no son el resultado de una demostración, sino que obedecen a la necesidad de subordinar la construcción a formas consideradas como perfectas.

Los altares constituyen uno de los ejemplos más sorprendentes del uso ritual de la matemática. Eran objetos sagrados, y se los consideraba dotados de poderes para enfrentar la adversidad. Se construían con ladrillos cortados según dos formas geométricas fundamentales, el cuadrado y el triángulo rectángulo, y dos formas geométricas derivadas de las anteriores, el paralelepípedo inclinado y el trapecio rectangular. Una de las formas más corrientemente empleada era el altar en forma de halcón. El vuelo del halcón es uno de los más perfectos de la Naturaleza, y se supone que el altar en forma de halcón reflejaba el deseo del constructor de alcanzar los cielos¹⁸. El altar se construía en cinco capas superpuestas, de 200 ladrillos cada una. Esta forma de construcción emplea, por lo tanto, un total de 1000 ladrillos. Es probable que este número fuese considerado como sagrado, puesto que, como enuncié anteriormente, los hindúes fueron los creadores del sistema decimal, y el número 1000 es la tercera potencia del número 10, base de dicho sistema¹⁹. Las capas de ladrillos no eran idénticas: las capas primera, tercera y quinta seguían una disposición, mientras que las capas segunda y cuarta, seguían otra diferente. Como resultado, ningún ladrillo apoyaba sobre otro de igual forma y tamaño, cumpliendo así con las exigencias del complicado ritual de construcción.

Los altares ceremoniales planteaban "...los problemas más desafiantes en su construcción..."²⁰. Uno de estos problemas consistía en aumentar el área del altar conservando la forma y la proporción. Dadas las formas geométricas empleadas en los ladrillos, todas ellas reductibles a triángulos rectángulos, resulta bastante obvia la necesidad de manejar el Teorema de Pitágoras para conservar las proporciones al variar el tamaño de las edificaciones. Con este fin, se aplicaban reglas de duplicación del área de un cuadrado o de un rectángulo. Estas reglas pueden enunciarse como sigue:

Regla de duplicación del área de un rectángulo: La cuerda diagonal de un rectángulo produce, al construirse sobre ella un cuadrado, lo que producen a la vez el largo y el ancho.

Regla de duplicación del área de un cuadrado: La cuerda diagonal de un cuadrado produce, al construirse sobre ella otro cuadrado, el doble del área del cuadrado original.

Puede demostrarse que, efectivamente, estas reglas no son otra cosa que el enunciado del Teorema de Pitágoras. Pero en este caso no surge como un enunciado lógico, sino que deriva de reglas rituales de construcción.

La arquitectura sagrada de la India se basó asimismo en complejas relaciones matemáticas, desconocidas en Occidente. La teoría de las proporciones en la India deseaba, ante todo, establecer una relación favorable entre la obra del hombre y la Naturaleza: "...una especie de relación entre arquitectura y Naturaleza establecida sobre la base de las fuerzas invisibles antes que sobre la armonía estética...". El siguiente párrafo, extraído del especialista en arquitectura hindú A. Volwahsen, pone en evidencia la gran diferencia existente entre el concepto de proporción imperante en India y en Occidente: "...En el contexto de los cánones indios, la palabra proporción no se concibe como una simple relación de medida entre dos o varias partes de una edificación... la doctrina (de las proporciones) no se limita a proporcionar los diferentes elementos de un templo para satisfacer aspiraciones estéticas...", sino que busca, antes que nada, armonizar el edificio con la Norma Cósmica.

A través de formulas estrictas se incorporaban a la arquitectura ciertos números considerados como mágicos. Estos números tenían por finalidad propiciar una relación favorable entre la obra a emplazar y el resto del mundo, incluidos los dioses. Las ecuaciones se aplicaban al ancho, longitud, y perímetro del edificio, determinando así sus medidas. También existían expresiones matemáticas para calcular el día propicio para el inicio de la edificación, y otras, de importancia menor, que tenían en cuenta la casta del fundador y la duración del templo. En las ecuaciones ingresaban números que simbolizaban las ocho orientaciones cardinales, los planetas, los signos zodiacales, la duración del mes y de la semana, etc. El conjunto así formado configuraba un complicado sistema de seis ecuaciones, sobre el cual se imponían, además, otras restricciones adicionales²⁶. Lamentablemente ignoramos de qué manera se las arreglaron los sacerdotes brahmánicos para resolver semejante conjunto de ecuaciones. Dicha resolución constituía la primera fase de la construcción del templo.

La segunda fase era el trazado de la planta. Este trazado seguía reglas geométricas muy estrictas, asociadas siempre a la simbología religiosa. El primer paso era delinear la mandala. La mandala es el principio estructurador tanto del templo como de la ciudad. Es una estructura concéntrica, que sugiere el pasaje de estado en estado, desde lo material a lo espiritual. Es emblema del cosmos, e instrumento para alcanzar el más alto grado de concentración en la meditación²⁷. La planta de todo templo hindú es, esencialmente, una mandala de forma cuadrada, orientada según los puntos cardinales. Por otro lado, para el constructor hindú las formas geométricas llevaban asociadas un símbolo. El cuadrado simbolizaba la forma perfecta, estática, el absoluto, manifestación del principio supremo de todas las cosas. Era el triunfo del orden sobre el caos. Por lo tanto el trazado de las plantas de los templos, al obedecer al cuadrado, era al mismo tiempo el símbolo del triunfo del orden sobre el caos, y la representación de la mandala.

También se recurría al triángulo, y particularmente al triángulo equilátero: "...el empleo del cuadrado como esquema fundamental, y del triángulo equilátero como principio de composición, se deben principalmente a motivos religiosos. Cada cuadrado servía de residencia a una divinidad, y la situación del cuadrado en la planta dependía de la importancia del dios. El cuadrado principal se destinaba a Brahma... Un templo hindú, en cierta manera, representa un modelo cultual del mundo..."²⁸. En tercer lugar, se empleaba también el círculo, que simbolizaba lo cícico, el movimiento, lo que muta o varía; por lo tanto, se vinculaba al mundo terrenal. De esta manera, en el trazado de la planta del templo, al incluir tanto el cuadrado como el círculo, simbólicamente el mundo celeste y el terrestre se encontraban y fundían: "... Cada templo... era un axis mundi, un centro sagrado en el que el mundo celeste, el terrestre y aún el inferior, se encontraban...".

El simbolismo asociado a la mandala, y al cuadrado, podrá ser mejor comprendido a la luz del mito que lo origina. El mito del Vastu Purusha relata que una cosa informe y sin nombre llenaba Cielo y Tierra. Los dioses le comprimieron contra la Tierra, de cara al suelo. Luego Brahma ordenó a los dioses que la ocuparan y la llamaran Vastu Purusha. Entonces

Vastu Purusha es "...la forma en que existe el ser ordenado, el mundo sensible..."³⁰ desde que los dioses lo dispusieron así. El mito también describe a Purusha como un viejo al que los dioses mantienen aprisionado contra el suelo. De esta manera la mandala es la forma en la que el Purusha se encuentra encerrado, o la forma en que el caos ha sido ordenado. A su vez, la mandala se divide en pequeñas porciones o pada, y cada una de ellas representa el sitio de una divinidad: "...Cada una divinidad que lo mantiene prisionero cubre una pequeña porción cuadrada...".

Si el cuadrado es la forma perfecta y la representación del orden, entonces la única forma perfecta de dividir un cuadrado es hacerlo, a su vez, en cuadrados menores. Cada uno de estos cuadrados menores, o pada, es la residencia de un dios. Los libros sagrados del hinduismo indican que sólo hay 32 maneras posibles de dividir la mandala en padas. La más simple es conservar el cuadrado de la mandala íntegro, y se corresponde con el cálculo del cuadrado de la unidad, ya que 1x1 =1 . Las demás formas consisten en dividir la mandala en 4, 9, 16, 25, 36, ... hasta 1024 pequeños cuadrados idénticos. Observamos que esta manera de dividir el cuadrado original corresponde a la siguiente regla:

2×2=4

3×3 =9

4×4=16

5×5=25

6×6=36 

y así sucesivamente hasta llegar a  32×32= 1024

Se trata entonces de la serie de los cuadrados de los números naturales desde el 1 hasta el 32. En el centro se ubica Brahma. Próximos al centro se encuentran los dioses esenciales. Y en la periferia , los dioses inferiores de la jerarquía celestial.

Existen otros elementos del arte hindú que nos hablan del profundo conocimiento de la geometría que poseía este pueblo. Los sriyantra eran objetos diseñados para el culto³²: la contemplación de sus intrincadas formas geométricas inducía a la meditación. Los más antiguos sriyantra hallados datan del siglo VII d.C., pero estos objetos ya son nombrados en escritos védicos del siglo XII a.C. Se trata de complicadísimas construcciones poligonales formadas a partir de la superposición de triángulos insertos dentro de una serie de círculos concéntricos. En el interior de los círculos, quedan determinados 43 pequeños triángulos, dentro de los cuales residen los dioses. Un camino posible de meditación debe recorrer la figura desde el exterior hacia el interior, atravesando la frontera cuadrada con sus cuatro puertas³³. El exterior representa el reino del desorden y el caos, y las puertas permiten el acceso al reino de los dioses y el orden. El camino inverso, desde el interior hacia el exterior, representa la evolución desde la armonía estática hacia la diversidad y complejidad del caos.

La construcción de los sriyantra plantea complejos problemas matemáticos a resolver. Uno de los más difíciles es el trazado de 9 grandes triángulos, que, al cruzarse entre sí deben dibujar de manera exacta y perfecta 43 triángulos más pequeños donde residen los dioses. Evidentemente, los triángulos mayores deben guardar entre sí proporciones y distancias bien determinadas para que su intersección dibuje exactamente 43 triángulos menores. A lo largo de toda la figura resultante deben producirse cruces de a 3 lineas, exactamente en un punto. Deseo hacer hincapié en el grado de dificultad que presenta este trazado ya que debe lograrse, sin margen para el error, que se produzcan intersecciones precisas en todo el espacio del dibujo.

Existen sriyantras aún más complicados, en los cuales los 9 triángulos mayores no son triángulos eucidianos sino triángulos curvos. Se trata de triángulos cuyos tres lados están formados por líneas curvadas, tal como se verían si estuviesen trazados sobre una esfera. Son idénticos a los triángulos de las modernas geometrías de Riemann, o geometrías no eucidianas. Los ejemplos más antiguos de sriyantra curvos proceden del siglo VII d.C., pero su sofisticación indica que los hindúes deben haberse iniciado en su estudio muchos siglos antes.

Entre los sriyantra, son destacables aquellos que fueron tallados en cristal de roca. Estos están diseñados de tal manera que concentran la luz en un único punto en su ápice, simbolizando así la concentración del orante en su más alto grado³⁶. Esta manera de tallar las rocas implica un asombroso conocimiento del problema de la refracción de la luz, puesto que por medio del ángulo de las talladuras se va guiando a los diferentes haces de luz que inciden sobre el cristal hasta hacerlos converger en un punto. Los sriyantra tallados también tenían por finalidad la meditación asociada al ritual.

Es evidente que en la civilización del valle del Indo las necesidades del ritual impulsaron un importante desarrollo de las matemáticas. Probablemente ésta sea una de las culturas en las que la asociación entre la matemática y lo sagrado aparece con más fuerza.

Hemos visto civilizaciones que, habitando en lugares muy diferentes del planeta, coinciden en incorporar ciertas nociones matemáticas en sus objetos de uso ritual o en sus monumentos conmemorativos. En las culturas aparecen ciertos elementos comunes: la ortogonalidad como manera primaria de organización espacial, el cuadrado como forma geométrica asociada a lo sagrado, y el manejo a nivel empírico del Teorema de Pitágoras, en algunos casos fuertemente vinculado a la construcción de objetos sagrados. En el caso de Egipto, la construcción de las pirámides implica proporcionar diferentes partes según relaciones que involucran al número . En particular, los planos de las pirámides presentan relaciones encadenadas según este módulo común. Este encadenamiento de relaciones de proporción será una condición fundamental de la arquitectura occidental, trasmitida a través de Vitruvio. Su origen se encuentra probablemente en principios pitagóricos. Y como ya adelanté, se cree que Pitágoras absorbió éstas y otras nociones durante los largos viajes que realizó por Egipto y regiones del Cercano Oriente Antiguo.

La civilización del Valle del Indo mostró una particular inclinación por las matemáticas. Fue una de las pocas culturas de la Antigüedad que desarrolló un sistema numérico con notación posicional. Fue asimismo creadora del sistema decimal. Estas dos condiciones hicieron de su sistema numérico uno de los más prácticos y poderosos, razón por la cual ha perseverado hasta nuestros días⁴⁶. Esta cultura amante de las matemáticas elevó a la categoría de sagradas ciertas propiedades geométricas y aritméticas, transformándolas en parte integrante de su ritual.

¿Qué es lo que lleva a civilizaciones diferentes y distantes entre sí a incorporar, casi como una regla, al número en su arte sagrado? Podríamos responder que son las necesidades constructivas las que impulsan esta iniciativa. Sin embargo, esta respuesta no alcanza a explicar por qué razón, entonces, aparece con tanta frecuencia el número en objetos tales como los sriyantra hindúes o las hachas ceremoniales Olmecas. La necesidad de incorporar el número al objeto sagrado parece obedecer a otras causas.

El orden de la naturaleza, con sus regularidades inmutables, trasciende al hombre. Todo en la naturaleza está ordenado. La sucesión de los días y las noches. Los ciclos estacionales de los cuales depende el hombre para sobrevivir. La marcha de los astros en el cielo. La salida y declinación diaria del sol, y la orientación cardinal que deriva de este ciclo. Y este orden obedece al número y a la geometría: esas son las herramientas con las cuales, desde tiempos remotos, cuenta el hombre para descifrar los secretos del cosmos. Hoy explicamos este orden recurriendo a las ciencias. Pero las civilizaciones incipientes recurrieron al mito y a la acción de las divinidades. Por lo tanto, en sus cosmogonías, son las divinidades las que imponen el orden, las que organizan la naturaleza según el número. Este orden debe reflejarse en el monumento y el artículo ritual. A través del número el hombre puede, a la manera de los dioses, imponer el orden en sus obras. Por lo tanto, a través del número el hombre se acerca, al menos en cuanto a su labor creadora, al demiurgo. Y también a través del número es que el hombre puede llegar a entender la naturaleza, que es la obra de los dioses, y a predecir sus ciclos. El número es, entonces, una herramienta invalorable que tiende un puente entre lo imperfecto en la faz de la tierra, y lo perfecto, lo sagrado, que impera en los dominios de la divinidad.

Es Cuanto :.

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